５年以上勤めていた会社を退職し、その翌月から別の会社に勤めています。まだ、１ヶ月も経っていませんが待遇面で入社前にした話と実際は違う事が分かりました。

すぐにまた転職したいのですが、この場合は失業保険は申請出来るのでしょうか？？
転職前も転職後も各種保険には加入済みです。
お願いします。

過去2年間に1年以上の加入歴があるようなので失業保険の
受給資格はあると思います。
現職が短いので前職の離職票も合わせて必要ですね。

失業保険にについて
去年の12月まで、1年間雇用保険を会社でかけていました。
今年の12月までに手続きをすれば、保険を貰えるのでしょうか？

確実に1年ありましたか、ギリの場合は難しいです。
まず、離職票を前職から取りよせましょう、又は持ってますか？
退職日が12/31としますね、12/31～12/1、11/30～11/1、のように遡り、区切った期間が、12月あり（この例の場合、最後の区切った期間が1/2ではアウト、あくまで区切った期間は1ヶ月です）
この区切った期間で、11日以上の出勤が全ての月でクリアしてれば受給資格はあります。
ただ、自己退職は、3ヶ月の給付制限期間があります、即申請すれば、所定給付日数90日を受給するには、受給期間は1年ですので、ギリギリですよ。

失業保険などの質問です。

11月20日に会社を自ら退職し25日にハローワークに行こうと思います。
その際、受給資格はいつ認定してもらえますか？
あと、自分で就職先を探そうと思いますがそ
の場合お祝い金を貰えないと聞いたのですが本当ですか？

あなたは雇用保険の知識が全く少ないようですがどこから説明していいかわかりません。
まず、１１月２０日に退職していますが会社から「離職票」をもらいましたか？それが無ければハローワークに行っても申請できませんよ。
それと、自己都合なら雇用保険期間が１２ヶ月以上ありますか？それがないと受給はできませんよ。
それと、お祝い金というのは再就職手当のことですが、申請して待期期間７日間のあとの給付制限３ヶ月の最初の１ヶ月の間はハローワークの紹介した職業でないと受給はできませんよ。
以上があなたが書いた質問に合うような回答です。

関連する情報